Найти площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его прямого угла разделять гипотенузу

Проведем из точки скрещения биссектрисы и гипотенузы перпендикуляры к катетам треугольника: https://bit.ly/2QAuqqK

Так как сумма углов хоть какого треугольника одинакова 180, то в образовавшихся при поддержки биссектрисы и перпендикуляров треугольниках оставшиеся неизвестные углы одинаковы по 180 - 90 - 45 = 45. Как следует, это треугольники являются равнобедренными, а это означает, что перпендикуляры, опущенные к катетам одинаковы и вкупе с долями катетов образуют квадрат.

Пусть их длины одинаковы а, больший катет исходного треугольника равен x, а меньший равен y. Тогда часть наименьшего катета одинакова b = y - a. Из параметров подобия треугольников имеем:

a / x = 4 / (4 + 8) = 4 / 12 = 1/3, то есть a = x / 3.

b / y = 4 / (4 + 8) = 1/3, то есть b = y / 3.

Так как a + b = y, то y / 3 + x / 3 = y, как следует, y + x = 3y, то есть x = 2y.

Из аксиомы Пифагора следует x + y = (4 + 8) = 12, следовательно:

(2y) + y = 12,

5y = 12,

y = (12 / 5) = 12/5.

Тогда x = 2 * 12/5.

А из этого следует, что площадь треугольника одинакова:

S = x * y / 2 = (2 * 12/5) * (12/5) / 2 = 12/5 * 12/5 = 144/5 = 28,8 см.

Ответ: 28,8 см.