За круглым столом сидит 31 соучастник дискуссии. Дамы не посиживают рядом.

Так как дамы не сидят рядом друг с ином, то слева и справа от каждой дамы посиживает мужик.

Каждый из этих парней имеет с иной стороны соседа также мужского пола.

Означает, число парней превосходит число дам, сидячих за этим столом не менее чем в два раза.

Таким образом, дамы сочиняют не более трети от общего числа сидячих за столом.

Также число дам обязано быть целым числом, потому величайшее число дам, сидящих за столом, 10.

Ответ: 10.