2sin x cos 3x +sin 4x=0

2 * sin x * cos 3x + sin 4x = 0 равносильно:

2 * sin x * cos (2x + x) + sin (2 * 2x) = 0,

2 * sin x * (cos 2x * cos x - sin 2x * sin x) + 2 * sin 2x * cos 2x = 0,

sin x * (cos x * cos 2x - 2 * sin x * cos x * sin x) + 2 * sin x * cos x * cos 2x = 0,

sin x * cos x * (cos 2x - 2 * sin x + 2 * cos 2x) = 0,

2 * sin x * cos x * (3 * cos 2x - 2 * sin x) = 0,

sin 2x * (3 - 6 * sin x - 2 * sin x) = 0,

sin 2x * (3 - 8 * sin x) = 0.

То есть sin 2x = 0 либо sin x = 3/8.

2 * x1 = Пи * k, где k - целое,

x1 = 0,5 * Пи * k, k  Z.

x2 = (-1)^k * arcsin (3/8) + 2 * Пи * k, k  Z.

x3 = (-1)^k * (-arcsin (3/8)) + 2 * Пи * k, k  Z.

То есть x = 0,5 * Пи * k, k  Z,

Или x = arcsin (3/8) + 2 * Пи * k, k  Z.