Найдите корень уравнения arccos4x+arccos2x=пи/3

Воспользуемся формулой косинуса суммы 2-ух углов.

Область возможных значений (ОДЗ): -1 4x  1 и -1  2x  1. 

arccos 4x + arccos 2x = пи/3 равносильно выражению arccos 4x = пи/3 - arccos 2x.

Тогда:

cos (arccos 4x) = cos (пи/3 - arccos 2x).

Отсюда:

4x = cos (пи/3) * cos (arccos 2x) - sin (пи/3) * sin (arccos 2x) =

= 1/2 * 2x + (3 / 2) * (1 - (2x)) = x + (3 / 2) * (1 - 4x).

Как следует, 3x = (3 / 2) * (1 - 4x).

То есть при x  0: (3x) = (3 / 2) * (1 - 4x).

9x = 3/4 - 3x.

12x = 3/4.

x = 1/16.

x = (1/16) = 1/4. Удовлетворяет условию x  0 только x = 1/4. Это же значение удовлетворяет обоим неравенствам ОДЗ.

Ответ: x = 1/4.