Найдите корешки уравнения sin(4x/3+Пи/6)=-1/2, принадлежащие интервалу [-2Пи;2Пи).

1. Воспользуемся решением простейшего тригонометрического уравнения sinx = -, которое, как знаменито, имеет следующие две серии решений: x₁ = -/6 + 2 * * k и x₂ = 7 * /6 + 2 * * n, где k, n Z, Z множество целых чисел. Для данного уравнения, имеем: 4 * х₁ / 3 + /6 = -/6 + 2 * * k и 4 * х₂ / 3 + /6 = 7 * /6 + 2 * * n. Эти решения дозволяют получить: х₁ = -/4 + (3 * ) / 2 * k и х₂ = 3 * /4 + (3 * ) / 2 * n.
2. Теперь среди отысканных решений отыскиваем те, которые принадлежат промежутку (-2 * ; 2 * ]. Если таковые имеются, то они обязаны удовлетворять последующим двум двойным неравенствам: -2 * -/4 + (3 * ) / 2 * k lt; 2 * и -2 * 3 * /4 + (3 * ) / 2 * n lt; 2 * , где k, n Z. Решим каждое двойное неравенство по отдельности.
3. Первое двойное неравенство можно переписать так: -2 * + /4 (3 * ) / 2 * k lt; 2 * + /4 либо -7/6 k lt; 1,5. Это неравенство имеет последующие целые решения: k = -1; k = 0 и k = 1. Подходящими корнями данного уравнения будут: -7 * /4; -/4 и 5 * /4.
4. 2-ое двойное неравенство можно переписать так: -2 * - 3 * /4 (3 * ) / 2 * n lt; 2 * - 3 * /4 либо -11/6 k lt; 5/6. Это неравенство имеет следующие целые решения: n = -1 и n = 0. Подходящими корнями данного уравнения будут: -3 * /4 и 3 * /4.
5. Итак, корнями данного уравнения, принадлежащими интервалу [-2 * ; 2 * ), являются: -7 * /4; -3 * /4; -/4; 3 * /4 и 5 * /4.

Ответ: -7 * /4; -3 * /4; -/4; 3 * /4 и 5 * /4.