COS(X)+COS(2X)+COS(6X)+COS(7X)=4COS(X/2)*COS(5X/2)*COS(4X)

1. Выполним группировку левой доли:

(cosx + cos7x) + (cos6x + cos2x) = 4cos(x/2)cos(5x/2)cos4x;

2. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

cosx + cos7x = 2сos((x + 7х)/2) * cos((7x - х)/2) = 2сos((8х)/2) * cos((6х)/2) = 2сos4х * cos3х;

cos6x + cos2x = 2сos((6x + 2х)/2) * cos((6x - 2х)/2) = 2сos((8х)/2) * cos((4х)/2) = 2сos4х * cos2х; 

3. Подставим полученные значения:

2сos4х * cos3х + 2сos4х * cos2х = 4cos(x/2)cos(5x/2)cos4x;

4. Вынесем общий множитель 2сos4х:

2сos4х * cos3х + 2сos4х * cos2х = 4cos(x/2)cos(5x/2)cos4x;

2сos4х(cos3х + cos2х) = 4cos(x/2)cos(5x/2)cos4x;

5. Воспользуемся формулой суммы тригонометрических функций:

cos3х + cos2х = 2сos((3x + 2х)/2) * cos((3x - 2х)/2) = 2сos((5х)/2) * cos((2х)/2) = 2сos(5х/2) * cosх;

6. Подставим полученные значения:

2сos4х * 2сos(5х/2) * cosх = 4cos(x/2)cos(5x/2)cos4x;

7. Перенесем все значения в левую часть и вынесем общий множитель 4cos4хcos(5x/2):

2сos4х * 2сos(5х/2) * cosх - 4cos(x/2)cos(5x/2)cos4x = 0;

4сos4хсos(5х/2)(cosх - cos4x) = 0;

8. Воспользуемся формулой разности тригонометрических функций:

cosх - cos4x = - 2sin((x + 4х)/2) * sin((x - 4х)/2) = - 2sin((5х)/2) * sin((- 3х)/2);

9. Подставим полученные значения:

4сos4хсos(5х/2)(- 2sin((5х)/2) * sin((- 3х)/2)) = 0;

- 8сos4хсos(5х/2)sin(5х/2)sin(- 3х/2) = 0;

8сos4хсos(5х/2)sin(5х/2)sin(3х/2) = 0;

 10. Творенье равно нулю, если:

1) 8сos4х = 0;

сos4х = 0;

4х = /2 + n, n  Z;

х1 = /8 + /4 * n, n  Z;

2) сos(5х/2) = 0;

5х/2 = /2 + n, n  Z;

х2 = /5 + /10 * n, n  Z;

3) sin(5х/2) = 0;

5х/2 = n, n  Z

х3 = 2/5 * n, n  Z;

4) sin(3х/2) = 0;

3х/2 = n, n  Z;

х4 = 2/3 * n, n  Z;

Ответ: х1 = /8 + /4 * n, n  Z, х2 = /5 + /10 * n, n  Z, х3 = 2/5 * n, n  Z, х4 = 2/3 * n, n  Z.