найти сумму 75 членов последовательности с общим членом аn=3n-19

1. Дана последовательность чисел, общий (n-й) член которой задан формулой а_n = 2 * n - 19. Нужно отыскать сумму 75 членов данной последовательности.
2. Поначалу докажем, что данная последовательность чисел представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом а₁ = 2 * 1 19 = 2 19 = -17 и шагом d = а₂ - а₁ = 2 * 2 19 (-17) = 4 19 + 17 = 2. С этой целью вспомним характеристическое свойство арифметической прогрессии, которое состоит в том, что последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и заключительного, в случае окончательной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и следующего членов, то есть, a_k = (a_{k 1} + a_{k + 1}) / 2, где k = 2, 3, , n 1. Для данной последовательности, имеем: (a_{k 1} + a_{k + 1}) / 2 = (2 * (k 1) 19 + 2 * (k + 1) 19) / 2 = (2 * k 2 + 2* k + 2 38) / 2 = (4 * k 38) /2 = 2 * (2 * k 19) / 2 = 2 * k 19. Что и требовалось обосновать.
3. Разыскиваемую сумму найдём по следующей формуле вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии S_n = (2 * a₁ + d * (n 1)) * n / 2. Имеем: S₇₅ = (2 * (-17) + 2 * (75 1)) * 75 / 2 = (-34 + 148) * 75 / 2 = 114 * 75 / 2 = 57 * 75 = 4275.

Ответ: 4275.