Найти точки экстремума функции y = x * ln 3x

1. Осмотрим функцию y = x * ln(3 * x). Прежде всего, используя определение логарифмической функции, заметим, что областью возможных значений довода х данной функции является огромное количество всех х, для которых правосудно неравенство 3 * x gt; 0 либо x gt; 0, то есть огромное количество (0; +). Допустим, что х (0; +).
2. Воспользуемся приёмами дифференциального и интегрального исчисления. Заметим, что данная функция дифференцируема всюду в (0; +). Нужным условием экстремума функции одной переменной в точке x* является равенство нулю первой производной функции, то есть, в точке x* 1-ая производная функции обязана обращаться в нуль. Вычислим y = (x * ln(3 * x)) = x * ln(3 * x) + x * (ln(3 * x)) = ln(3 * x) + х * (3 / (3 * х)) = ln(3 * x) + 1.
3. Приравниваем первую производную к нулю ln(3 * x) + 1 = 0 и решим полученное уравнение. Имеем: ln(3 * x) = -1 либо 3 * х = е^-1, откуда х = 1 / (3 * е). Итак, отыскали одну точку, где функция может принимать экстремальное значение. Для выяснения поведения функции в найденной точке, осмотрим поведение производной в последующих 2-ух множествах: (-; 1 / (3 * е)) и (1 / (3 * е); +). Явно, что: при х (-; 1 / (3 * е)) производная f (x) lt; 0; при х (1 / (3 * е); +) производная f (x) gt; 0. Так как при переходе через точку х = 1 / (3 * е) производная f (x) меняет свой знак с минуса на плюс, то точка x = 1 / (3 * е) является точкой минимума функции. Вычислим значение данной функции при x = 1 / (3 * е). Имеем: f(1 / (3 * е)) = (1 / (3 * е)) * ln(3 * (1 / (3 * е))) = -1 / (3 * е).  Итак, точкой экстремума (минимума) данной функции является х = 1 / (3 * е), где она воспринимает значение f(1 / (3 * е)) = -1 / (3 * е).

Ответ: Точкой экстремума (минимума) данной функции является х = 1 / (3 * е).