В правильной треугольной пирамиде SABC c основанием ABC на медиане СЕ

Для решения осмотрим рисунок (http://bit.ly/2UNgalH).

Пуст длина медиана СЕ одинакова 9 * Х см.

Тогда, по условию, длина отрезка СК = 8 * Х см, а КЕ = Х см.

По свойству медианы треугольника, она в точке их скрещения делится в отношении 2 / 1.

Тогда СО = 6 * Х см, ОЕ = 3 * Х см.

Тогда ОК = СК СО = 8 * Х 6 * Х = 2 * Х см.

Отношение ОК / ОЕ = 2 * Х / 3 * Х = 2 / 3.

Построим апофему SE. Прямоугольные треугольники SOE и РКЕ подобны по острому углу а коэффициент их подобия равен ОК / ОЕ = 2 / 3.Тогда SE / SP = 2 / 3.

Отрезок МН параллелен АВ, тогда треугольники SAB и SМН сходственны по двум углам, а отрезки SP и SE есть их вышины. Так как SE / SP = 2 / 3, то и МН / АВ = 2 / 3, что и требовалось доказать.