ctg x + x^2 + x amp;gt; ctg x + 6

Переносим все члены неравенства в левую часть:

ctg(x) + x^2 + x - ctg(x) - 6 gt; 0;

x^2 + x - 6 gt; 0.

Найдем корешки уравнения x^2 + x - 6 = 0. Корешки квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются по формуле: x12 = (-b +- (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

x12 = (-1 +- (1 - 4 * 1 * (-6)) / 2 * 1 = (-1 +- 5) / 2.

x1 = (-1 - 5) / 2 = -3; x2 = (-1 + 5) / 2 = 2.

Тогда неравенство будет иметь следующий вид:

(x - 2) * (x + 3) gt; 0.

Методом промежутков, получим ответ: x принадлежит промежуткам от минус бесконечности до -3 и от 2 до бесконечности.