Найдите корни уравнения cosx-cos2x=1, принадлежащие интервалу (-3П/4; П ]

1. Рассмотрим тригонометрическое уравнение cosx cos(2 * x) = 1. Используя формулу cos(2 * ) = cos² sin² (косинус двойного угла), которого перепишем в виде cos(2 * ) = 2 * cos² 1, преобразуем данное уравнение в виде: cosx (2 * cos²х 1) = 1 или cosx 2 * cos²х = 0. Выведем множитель cosx за скобки. Тогда, получим: cosx * (1 2 * cosх) = 0.
2. Левая часть последнего уравнения представляет собой творение двух сомножителей, а его правая часть одинакова нулю. Такое равенство выполнится тогда и только тогда, когда желая бы один из сомножителей равен нулю. Имеем: а) cosx = 0 и б) 1 2 * cosх = 0. Получили два простейших тригонометрических уравнения. Осмотрим каждое уравнение по отдельности и посреди их решений найдём такие, которые принадлежат промежутку (-3 * /4; ], если таковые имеются.
3. Пусть а) cosx = 0. Имеем: х = /2 + * n, где n Z, Z огромное количество целых чисел. Решим двойное неравенство условно n Z. Имеем: -3 * /4 lt; /2 + * n либо, упрощая, -1,25 lt; n 0,5. Это двойное неравенство имеет два целочисленных решения n = -1 и n = 0, к которым подходят последующие решения данного уравнения: х = -/2 и х = /2.
4. Пусть сейчас б) 1 2 * cosх = 0. Это уравнение равносильно простейшему тригонометрическому уравнению cosх = , которое имеет следующие две серии решений: х₁ = /3 + 2 * * k и х₂ = -/3 + 2 * * m, где k, m Z. Осмотрим каждую серию по отдельности.
5. Для первой серии составим двойное неравенство -3 * /4 lt; /3 + 2 * * k  , которое имеет одно целочисленное решение k = 0, которому подходит решение данного уравнения х = /3. Аналогично, для второй серии составим двойное неравенство  -3 * /4 lt; -/3 + 2 * * m  , которое имеет одно целочисленное решение m = 0, которому подходит решение данного уравнения х = -/3.
6. Итак, промежутку (-3 * /4; ] принадлежат следующие 4 решения данного уравнения: х = -/2, х = -/3, х = /3 и х = /2.

Ответ: х = -/2, х = -/3, х = /3 и х = /2.