4 косинус квадрат икс + 4 синус икс - 1=0

1. Применим формулу главного тождества тригонометрической функций:

4cosx + 4sinx - 1 = 0;

sinx + cosx = 1;

cosx = 1 - sinx;

4(1 - sinx) + 4sinx - 1 = 0;

4 - 4sinx + 4sinx - 1 = 0;

- 4sinx + 4sinx + 3 = 0;

2. Выполним подмену sinx = у и приведем квадратное уравнение к стандартному виду:

 - 4у + 4у + 3 = 0;

4у - 4у - 3 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 4) - 4 * 4 * ( - 3) = 16 + 48 = 64;

D 0, означает:

у1 = ( - b - D) / 2a = (4 - 64) / 2 * 4 = (4 - 8) / 8 = - 4 / 8  = - 1/2;

у2 = ( - b + D) / 2a = (4 + 64) / 2 * 4 = (4 + 8) / 8 = 12 / 8  = 1 1/2;

6. Тогда, если у1 = - 1/2, то:

sinx = - 1/2;

х = ( - 1)n arcsin( - 1/2) + n, n  Z;

х = - ( - 1)n arcsin(1/2) + n, n  Z;

х = - ( - 1)n /6 + n, n  Z;

если у2 = 1 1/2, то условие sinx = у, y 1, не производится, означает этот корень не подходит;

Ответ: х = - ( - 1)n /6 + n, n  Z;