8 sin^2 5x +1/2sin10x+cos^2 5x=4

Воспользовавшись формулой двойного довода для синуса и главным тригонометрическим тождеством, получим уравнение:

8sin^2(5x) + sin(5x)cos(5x) + cos^2(5x) = 4sin^2(5x) + 4cos^2(5x);

4sin^2(5x) + sin(5x)cos(5x) - 3cos^2(5x) = 0.

Разделив уравнение на cos^2(x) и обратившись к определению тангенса, получаем:

4tg^(5x) + tg(5x) - 3 = 0.

Замена t = tg(5x):

4t^2 + t - 3 = 0;

t12 = (-1 +- (1 - 4 * 1 * (-3)) / 2 * 4) = (-1 +- 13) / 8.

Оборотная замена:

tg(5x) = (-1 +- 13)/8;

5x = arctg(-1 +- 13)/8) +-  * n;

x = 1/5arctg(-1 +- 13)/8)) +-   * n.