(2(sin^2)x- 9sinx-5) корень(11tgx)=0

Будем использовать вот такие верховодила и формулы:

y = f(g(x)), y = fu(u) * gx(x), где u = g(x).

(x^n) = n * x^(n-1).

(с) = 0, где с const.

(с * u) = с * u, где с const.

(аrсtg (x)) = 1 / (1 + х^2).

(u v) = u v.

(u / v) = (uv - uv) / v².

Таким образом, производная нашей данной функции будет смотреться последующим образом:

f(x) = (1 + 16x^2 / аrсtg (4x)) = ((1 + 16x^2) * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (аrсtg (4x))) / (аrсtg (4x))^2 = (((1) + (16x^2)) * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (4x) * (аrсtg (4x))) / (аrсtg (4x))^2 = ((0 + 16 * 2 * x^1)) * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + *(4х)^2))) / (аrсtg (4x))^2 = ((0 + 16 * 2 * x^1)) * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + * (4х)^2))) / (аrсtg (4x))^2 = (32x * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16х^2))) / (аrсtg (4x))^2.

Ответ: f(x) = (32x * аrсtg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16х^2))) / (аrсtg (4x))^2.