Отыскать ряд Макларена для функции ln(1+x)

1. При исследовании теории функций особенное место занимает, так нарекаемый степенной ряд Маклорена (ударение на 2-ой слог, Колин Маклорен шотландский математик.). Этот ряд считается приватным случаем степенного ряда Тэйлора (ударение на первый слог) и на практике очень нередко употребляется. В связи с этим, для некоторых элементарных функций, в частности, и для данной функции y = ln(1 + x), имеются готовые разложения.
2. По требованию задания, используя формулу (её, из-за громоздкости, не приведём) разложения функции в ряд Тэйлора, разложим функцию у(х) = ln(1 + x) в ряд Маклорена, ограничиваясь первыми пятью членами разложения.
3. Имеем: у(0) = ln(1 + 0) = ln1 = 0; у(х) = (ln(1 + x)) = 1 / (1 + x), у(0) = 1 / (1 + 0) = 1; у(х) = (1 / (1 + x)) = -1 / (1 + x), у(0) = -1 / (1 + 0) = -1; у(х) = (-1 / (1 + x)) = 2 / (1 + x), у(х) = 2 / (1 + 0) = 2; у^IV(х) = (2 / (1 + x)) = -6 / (1 + x)⁴, у^IV(х) = -6 / (1 + 0)⁴ = -6. Тогда, у(х) = ln(1 + x) = у(0) + (у(0) / 1!) * х + (у(0) / 2!) * х + (у(0) / 3!) * х + (у^IV(0) / 4!) * х⁴ + .
4. Как следует, ln(1 + x) = 0 + (1 / 1!) * х + (-1 / 2!) * х + (2 / 3!) * х + (-6 / 4!) * х⁴ + = x - х / 2 + х / 3 - х⁴ / 4 + .

Ответ:  ln(1 + x) = x - х / 2 + х / 3 -  х⁴ / 4 + .