Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -4x2 + 12x

1. Дана функция f(x) = -4 * x + 12 * x 8. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью абсцисс Ох, которую обозначим через S.
2. Для того, чтобы иметь представление о том, площадь какой фигуры нужно вычислить, на прямоугольной декартовой координатной системе Оху построим график данной функции f(x) = -4 * x + 12 * x 8. Заметим, что данная функция является квадратичной функцией, которая имеет график в виде параболы (на рисунке http://bit.ly/ZTopsh4705A красная линия) с ветвями направленными вниз (так как коэффициент при x равен -4 lt; 0). Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс (у = 0), для чего решим уравнение -4 * x + 12 * x 8 = 0. Несложно, вычислить корни полученного квадратного уравнения: x₁ = 1 и х₂ = 2. На рисунке разыскиваемая площадь покрашена зелёным цветом.
3. Как известно, площадь так называемой криволинейной трапеции ограниченной графиком функции у = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = b можно вычислить используя определённый интеграл от а до b по функции f(x), с помощью формулы Ньютона Лейбница. Поначалу найдём последующий неопределённый интеграл (-4 * x + 12 * x 8)dx = (-4 * x)dx + (12 * x)dx 8dx = -4 * x^{2 + 1} / (2 + 1) + 12 * x^{1 + 1} / (1 + 1) 8 * x + C = -4 * x / 3 + 6 * x - 8 * x + C, где С константа.
4. Следовательно, применяя Ньютона Лейбница, получим S = . (См. http://bit.ly/ZTopsh4705B).

Ответ: .