Все боковые грани правильной треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол

Для решения осмотрим рисунок (http://bit.ly/2Wa2Xje).

Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник АВС со гранями 12 см.

Определим площадь равностороннего треугольника АВС.

Sавс = Sосн = АВ * АС * Sin60 / 2 = 12 * 12 * 3 / 4 = 36 * 3 см².

Тогда СН = 2 * Sосн / АВ = 2 * 36 * 3 / 12 = 6 * 3 см.

Построим высоты АМ и АН, которые так же есть медианы треугольника, по свойствам которых делятся в точке О в отношении 2 / 1.

СО / ОН = 2 / 1.

СО = 2 * ОН.

СО + ОН = СН = 6 * 3 см.

3 * ОН = 6 * 3.

ОН = 2 * 3 см.

В прямоугольном треугольнике ДОН определим катет ДО.

ДО = ОН * tg60 = 2 * 3 * 3 = 6 см.

Тогда Vпир = Sосн * ОН / 3 = 36 * 3 * 6 / 3 = 72 * 3 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 72 * 3 см³.