Вычислите определенный интеграл: а) интеграл на промежутке от -2 до 0

Задание состоит из 2-ух частей, в каждой из которых дан пример на вычисление значение определенного интеграла. По требованию задания, вычислим интеграл каждой доли задания, по отдельности. Как знаменито, для того, чтоб вычислить значение определённого интеграла, применяется формула Ньютона-Лейбница, в которой поначалу определяется первообразная (то есть, неопределённый интеграл) подынтегральной функции, а потом рассчитывается разность значений первообразной функции на границах (верхнего и нижнего) интегрирования.

А) Данный определённый интеграл обозначим через А. Поначалу вычислим неопределённый интеграл I = ((5 * x + 6) * cos(2 * x))dx = (5 * x * cos(2 * x))dx + (6 * cos(2 * x))dx = 5 * (x * cos(2 * x))dx + 6 * cos(2 * x)dx. К первому интегралу применим интегрирование по долям, а второй обретаем из таблицы интегралов. Имеем: I = 5 * * x * sin(2 * x) - 5 * *  sin(2 * x)dx + 6 * * sin(2 * x) = (5/2) * x * sin(2 * x) + (5/2) * * cos(2 * x) + 3 * sin(2 * x) + C = ((5/2) * x + 3) * sin(2 * x) + (5/4) * cos(2 * x) + C. Тогда, используя вышеописанную формулу Ньютона-Лейбница, получим А = (5/4) * (5 8 * sin4 5 * cos4). (См. http://bit.ly/ZTopsh4704N).

Б) Данный определённый интеграл обозначим через В. Поначалу вычислим неопределённый интеграл J = ((x + 1) / (x + 3 * x + 1))dx. Заменим переменную, означая через u = x + 3 * x + 1. Тогда du = (x + 3 * x + 1)dx = (3 * x + 3)dx = 3 * (x + 1)dx, откуда (x + 1)dx = ()du. Как следует, J = (() / u)du = () * u^-2du. Используя подходящий табличный интеграл, имеем: J = () * u^{-2 + 1} / (-2 + 1) + С = -1 / (3 * u) + С. Сделаем обратную подмену: J = -1 / (3 * (x + 3 * x + 1)) + С. Тогда, используя вышеперечисленную формулу Ньютона-Лейбница, получим B = 4/15. (См.  http://bit.ly/ZTopsh4704N).