Lg(x^2-9)-lg(x-3)=1 (решите уравнение)

1. Найдем ОДЗ:

lg (x - 9) - lg (x - 3) = 1;

x - 9gt; 0;

x - 3gt; 0;

1) (x + 3)(х - 3) gt; 0;

Применим способ промежутков:

1) x + 3 = 0;

х1 = - 3;

2) x - 3 = 0;

х2 = 3;

  +            -           +

----( - 3 )-----( 3 )---

х (- ; - 3) (3; + );

2) x - 3 gt; 0;

х gt; 3;

      //////////////

----( 3 )-----

х (3; + );

Найдем общее значение числового интервала системы неравенств:

х (3; + );

1. Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством частного логарифма:

lg (x - 9)/(x - 3) = 1;

1. Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

1 = lg 10;

lg (x - 9)/(x - 3) = lg 10;

1. Из равенства основания логарифмов следует:

(x - 9)/(x - 3) = 10;

(x - 9)/(x - 3) - 10 = 0;

((x - 9) - 10(x - 3))/(x - 3) = 0;

1. Творение одинаково нулю, если числитель равен нулю:

(x - 9) - 10(x - 3) = 0;

x - 9 - 10x + 30 = 0;

x - 10x + 21 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 10) - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16;

D 0, означает:

х1 = ( - b - D) / 2a = (10 - 16) / 2 * 1 = (10 - 4)/2 = 6 / 2 = 3, не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b + D) / 2a =  (10 + 16) / 2 * 1 = (10 + 4)/2 = 14 / 2 = 7;

Ответ: х = 7.