Отыскать период функции y=3cos x + 4 sin x

1. Осмотрим тригонометрическую функцию y = 3 * cosx + 4 * sinx. До этого чем отыскать меньший положительный период данной функции, преобразуем данную функцию следующим образом. y = 3 * cosx + 4 * sinx = 4 * sinx + 3 * cosx. Умножим и разделим выражение на (4 + 3) = (16 + 9) = (25) = 5. Тогда, получим: у = 5 * ((4/5) * sinx + (3/5) * cosx).
2. Нетрудно увидеть, что (4/5) + (3/5) = 1. Если сумма квадратов двух реальных чисел одинакова единице, то одно из этих чисел можно разглядывать как косинус, а иное как синус некого угла. Как следует, существует угол , таковой, что 4/5 = cos и 3/5 = sin. Воспользуемся формулой sin( + ) = sin * cos + cos * sin (синус суммы). Тогда, у = 5 * (sinx * cos + cosx * sin) = 5 * sin(x + ).
3. Сейчас вспомним о том, что для функции y = sinх минимальным положительным периодом является Т = 2 * . Это значит, что при наименьшем Т = 2 * для всех х (-; +) производится равенство sin(х + Т) = sinх. Представим, что для полученной функции у = 5 * sin(x + ) угол Т₀ является минимальным положительным периодом. Тогда, 5 * sin(x + Т₀ + ) = 5 * sin(x + ). Имеем x + Т₀ + = x + + 2 * , откуда Т₀ = 2 * .

Ответ: Меньший положительный период данной функции равен 2 * .