Найдите корешки уравнения 3*tgx - ctgx = 2 на отрезке [0;

1. Осмотрим тригонометрическое уравнение 3 * tgx - ctgx = 2. Используя формулу tg * ctg = 1, перепишем данное уравнение в виде 3 * tgx 1 / tgx = 2, которое после легких преображений получит вид 3 * tgx 2 * tgx 1 = 0.
2. Введя новую переменную у = tgx, получим квадратное уравнение 3 * у - 2 * у 1 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-2) - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16 gt; 0. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два реальных корня: у₁ = (2 - (16)) / (2 * 3) = (2 4) / 6 = -2/6 = - и у₂ = (2 + (16)) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 6/6 = 1.
3. Рассмотрим каждый корень по отдельности. Пусть у = -. Тогда, получим простейшее тригонометрическое уравнение tgx = -, которое имеет следующее решение х = arctg(-) + * n = -arctg + * k, где k Z, Z огромное количество целых чисел.
4. Пусть сейчас у = 1. Решим, точнее, выпишем решение простейшего тригонометрического уравнения tgx = 1. Как знаменито, это уравнение имеет последующие две серии решений: х₁ = /4 + 2 * * n и х₂ = 5 * /4 + 2 * * m, где n, m Z, Z огромное количество целых чисел.
5. Теперь найдём те решения из этих трёх серий, которые принадлежат отрезку [0; /2]. Легко увидеть, что только х = /4 [0; /2].

Ответ: х = /4