12sin^2 pi*x/102 + 8 cos pi*x/102=13

По тригонометрическим формулам sinx = 1 - cosx.

12 (1 - cosпх/102) + 8cosпx/102 = 13.

12 * 1 - 12 * cosпх/102 + 8cosпx/102 - 13 = 0.

- 12cosпх/102 + 8cosпx/102 - 1 = 0.

Пусть cosпx/102 = у, тогда наше выражение воспримет вид:

- 12y + 8y - 1 = 0.

Имеем квадратное уравнение, для решения найдем дискриминант D = b - 4ac.

D = 8 * 8 - 4 * (- 12) * (- 1) = 64 - 48 = 16, D = 16 = 4.

Дискриминант больше нуля, означает найдем корешки по формуле x1;2 = ( b D)/2a.

y1 = (- 8 - 4)/(- 12 * 2) = (- 12)/(- 24) = 1/2.

y2 = (- 8 + 4)/(- 12 * 2) = (- 4)/(- 24) = 1/6.

Означает cosпx/102 = 1/2 и cos пx/102 = 1/6.

1) cosпx/102 = 1/2.

пx/102 =  arccos1/2 + 2пk, kZ.

пx/102 =  п/3 + 2пk, kZ.

х = п/3 * 102/п + 2пk * 102/п, kZ.

х =  34 + 204k, kZ.

2) cosпx/102 = 1/6.

пx/102 = arccos1/6 + 2пk, kZ.

x = (102arccos1/6)/п + 2пk * 102/п, kZ.

х = (102arccos1/6)/п + 204k, kZ.

Ответ: х =  34 + 204k, kZ.

х = (102arccos1/6)/п + 204k, kZ.