Решите тригонометрическое уравнение: 4sin^4х+7 cos2x=1

1. Воспользуемся формулой двойного аргумента тригонометрических функций:

4sin⁴x + 7cos2х = 1;

cos2x = 1 - 2sinx;

1. Подставим полученные значения:

4sin⁴x + 7(1 - 2sinx) = 1;

4sin⁴x + 7(1 - 2sinx) - 1 = 0;

4sin⁴x + 7 - 14sinx - 1 = 0;

1. Найдем корешки, решив квадратное уравнение:

Выполним замену sinx = n, n 1:

4n - 14n + 6 = 0;

2n - 7n + 3 = 0;

Вычислим  дискриминант:

D = b - 4ac = ( - 7) - 4 * 2 * 3 = 49 - 24 = 25;

D 0, значит:

n1 = ( - b - D) / 2a = (7 + 25) / 2 * 2 = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3, не подходит по условию подмены;

n2 = ( - b + D) / 2a = (7 - 25) / 2 * 2 = (7 - 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2;

Тогда:

если n = 1/2, то:

sin² x = 1/2;

1) sinx = 1/2;

х = ( - 1)m arcsin(1/2) + m, m Z;

х1 = ( - 1)^m /4 + m, m Z;

2) sinx = - 1/2;

х = ( - 1)m arcsin( - 1/2) + m, m Z;

х = -  ( - 1)m arcsin(1/2) + m, m Z;

х2 = - ( - 1)^m /4 + m, m Z;

Ответ: х1 = ( - 1)^m /4 + m, m Z, х2 = - ( - 1)^m /4 + m, m Z.