1. Сумма 3-х чисел, образующих арифметичекскую прогрессию, одинакова 12, а сумма

1. Пусть а₁ и d есть данная арифметическая прогрессия, а₁ 1-ое из трёх искомых чисел.

Тогда два иных числа будут одинаковы:

а₂ = a₁ + d;

а₃  = a₁ + 2 d;

Сложим все три числа:

S₃ = 3 a₁ + 3 d = 12;

a₁ + d = 4.

а₁ = 4 - d;

Найдём квадраты этих чисел:

а₂² = a₁² + 2 a₁ d + d²;

а₃² = a₁² + 4 a₁ d + 4 d²;

Сложим все три квадрата:

S_кв. = 3 a₁² + 6 a₁ d + 5d² = 80;

Подставим в это уравнение значение а₁:

3 (4 - d)² + 6 (4 - d) d + 5d² = 80;

2 d² + 48 = 80;

d² = 16;

d₁ = 4; a₁ = 0; a₂ = 4; a₃ = 8.

d₂ = - 4; a₁ = 8; a₂ = 4; a₃ = 0.

1. Общий член арифметической прогрессии a_n = a₁ + d (n - 1).

Развернём суммы:

1) a₃ + a₅ + a₈ = ( a₁ + 2 d) + (a₁ + 4 d) + (a₁ + 7 d) = 18;

3 a₁ + 13 d = 18.

2) a₂ + a₄ = ( a₁ + d) + (a₁ + 3 d) = - 2;

2 a₁ + 4 d = - 2;

a₁ + 2 d = - 1.

a₁ = - 2 d - 1.

Подставим это значение в 1-ое уравнение:

3 (- 2 d - 1) + 13 d = 18.

7 d = 21;

d = 3;

a₁ = - 7.