8 sin^2(3x)+4 sin^2(6x)=5

Используя формулу двойного довода для синуса и основное тригонометрическое тождество, получим:

8sin^2(3x) + 4 * 2sis(3x) * cos(3x) = 5sin^2(3x) + 5cos^2(3x);

3sin^2(3x) + 8sin(3x)cos(3x) - 5cos^2(3x) = 0.

Разделив уравнение на cos^2(3x) и используя определение тангенса, получаем уравнение:

3tg^2(3x) + 8tg(3x) - 5 = 0.

Подмена  t = tg(3x):

3t^2 + 8t - 5 = 0;

t12 = (-8 +- (16 - 4 * 3 * (-5)) / 2 * 6 = (-8 +- 76) / 12.

Обратная подмена:

tg(3x) = (-8 - 76) / 12;

3x = arctg((-8 - 76) / 12) +-  * n, где n естественное число;

x = 1/3 * arctg((-8 - 76) / 12) +- /3 * n.