2cosx+5 sinx+1=0 решить

Обратимся к следствию из главного тригонометрического тождества: 

cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Тогда изначальное уравнение приобретет вид:

2(1 - sin^2(x)) + 5sin(x) = 0.

Произведем замену переменных   t = sin(x):

2(1 - t^2) + 5t = 0;

2t^2 - 5t - 2 = 0.

Корешки квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются
по формуле: x12 = (-b +- (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (5 +- (25 - 4 * 2 * (-2)) / 2 * 2 = (5 +- 3) / 4;

t1 = (5 - 3) / 4 = 1/2; t2 = (5 + 3) / 4 = 2.

sin(x) = 1/2;

x = arcsin(1/2) +- 2 * * n, где n естественное число.