Механизм старинных часов состоит из 3-х шестеренок, соединенных как на рисунке:

Если разглядывать полный оборот каждой шестеренки, как независимое основание для боя часов, не учитывая совпадающие полные обороты разных шестеренок, как один бой, то решение такое:

На 2-ой шестеренке 12 зубцов, означает, каждые 4 ее оборота великая делает 1 оборот, а махонькая - 6 оборотов:
                                 12 * 4 = 48      48 : 48 = 1 (оборот) - великая.
                                                          48 : 8 = 6 (оборотов) - малая

То есть за 4 оборота средней шестеренки часы пробьют:
                                 4 + 1 + 6 = 11 раз

При последующих двух оборотах средней шестеренки, малая сделает 3 оборота:
                     2 * 12 = 3 * 8

Таким образом, за 6 оборотов второй шестеренки, то есть за 6 минут, получим:
                      11 + 5 = 16 раз    
   
Последний раз приходится на малую шестеренку, которая сделает оборот за 2/3 оборота 2-ой шестеренки:
                                                          2/3 * 12 = 8
2/3 * 60 = 40 (сек)

Таким образом, 17 раз часы пробьют за 6 мин 40 сек, т.е. за 400 сек.

Ответ: за 400 секунд.

Если рассматривать совпадающие бои от различных шестеренок, как один, то ответ будет иной.

Совпадения боев будут: 4-й бой (малая+средняя)                   на 120 с
                                             8-й бой (малая+средняя+великая) на 240 с
                                           12-й бой (малая+средняя)                   на 360 с
                                           16-й бой (малая+средняя+великая) на 480 с

Таким образом, 17 бой часов наступит через 480 + 40 = 520 с

Ответ: за 520 секунд

Б-48зубцов,С-12зуцов,М-8зубцов
За время,когда Б сделает 1 оборот, С сделает 4 оборота,М сделает 6 оборотов.
Совместно сделают 11 оборотов.
За время,когда С сделает 2 оборота,М сделает 3 оборота.
Вкупе за это время 16 оборотов
1 оборот М делает за 8/12+60сек=2/3*60сек=40чек
Время ,когда они вместе сделают 17 оборотов равно:
4мин+2мин+40сек=6мин 40сек=6*60+40=400сек
Если совпадение боев рассматривать как один бой,то
4бой будет(С+М) на 2мин
8бой будет (Б+С+М) на 4мин
12бой(С+М) на 6мин
16бой (Б+С+М) на 8мин
Тогда 17 бой будет через 8мин+40сек=8*60+40=520с