Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проведена

Отрезок EF никак не является средней линией треугольника! Есть теорема: любая медиана треугольника делится точкой их пересечения на 2 доли, длины которых относятся как 2:1. То есть отрезок ВО в 2 раза больше отрезка ОD. 
Осмотрим два треугольника: главной АВС и верхний EBF. 
Светло, что они подобны. Всем знаменито, что в сходственных треугольниках отношение длин сторон одного тр-ка к граням иного тр-ка - неизменная величина.. Но это же относится и к иным отрезкам, не только к сторонам. В частности, к медианам. Просто узреть, чему одинаково отношение медиан ВО/ВD = 2/3. Означает, и отношение оснований такое же: 
EF / 15 = 2/3 
Отсюда EF = 10 см.