Помогите решить дифференциальные уравнения! Пожалуйста.1) y+2y=sin x2) y+y/2x=x^2
Помогите решить дифференциальные уравнения! Пожалуйста.
1) y+2y=sin x
2) y+y/2x=x^2 y(1)= 1
1 ответ
Качай Никита
1) y '' + 2y ' = sin x
Просто, поэтому что по шаблону.
Характеристическое уравнение
k^2 + 2k = 0; k1 = 0; k2 = -2
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-2x) = C1 + C2*e^(-2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = A*sin x + B*cos x
y* ' = A*cos x - B*sin x
y* '' = -A*sin x - B*cos x
Подставляем в наше уравнение
-A*sin x - B*cos x + 2A*cos x - 2B*sin x = sin x
(-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = 1*sin x + 0*cos x
Система
-A - 2B = 1
2A - B = 0
Умножаем 2 уравнение на -2
-A - 2B = 1
-4A + 2B = 0
И складываем уравнения
-5A = 1; A = -1/5 = -0,2
B = 2A = -0,4
Общее решение неоднородного уравнения
y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-2x) - 0,2sin x - 0,4cos x
2) y ' + y/(2x) = x^2
Чуть сложнее, но тоже несложно.
Решение однородного уравнения
y ' + y/(2x) = 0
dy/dx = -y/(2x)
dy/y = -dx/(2x)
ln y = -ln 2x + ln C = ln C/(2x)
y0 = C/(2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = Ax^3 + Bx^2 + Dx
y* ' = 3Ax^2 + 2Bx + D
Подставляем в уравнение
3Ax^2 + 2Bx + D + 3Ax^2/2 + Bx/2 + D/2 = x^2
3A + 3A/2 = 1
2B + B/2 = 0
D + D/2 = 0
A = 2/9; B = 0; D = 0
y* = 2x^2/9
y = y0 + y* = C/(2x) + 2x^2/9
Решаем задачку Коши.
y(1) = C/2 + 2/9 = 1
C/2 = 7/9
C = 14/9
Ответ: y = 7/(9x) + 2x^2/9
Просто, поэтому что по шаблону.
Характеристическое уравнение
k^2 + 2k = 0; k1 = 0; k2 = -2
Решение однородного уравнения:
y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-2x) = C1 + C2*e^(-2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = A*sin x + B*cos x
y* ' = A*cos x - B*sin x
y* '' = -A*sin x - B*cos x
Подставляем в наше уравнение
-A*sin x - B*cos x + 2A*cos x - 2B*sin x = sin x
(-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = 1*sin x + 0*cos x
Система
-A - 2B = 1
2A - B = 0
Умножаем 2 уравнение на -2
-A - 2B = 1
-4A + 2B = 0
И складываем уравнения
-5A = 1; A = -1/5 = -0,2
B = 2A = -0,4
Общее решение неоднородного уравнения
y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-2x) - 0,2sin x - 0,4cos x
2) y ' + y/(2x) = x^2
Чуть сложнее, но тоже несложно.
Решение однородного уравнения
y ' + y/(2x) = 0
dy/dx = -y/(2x)
dy/y = -dx/(2x)
ln y = -ln 2x + ln C = ln C/(2x)
y0 = C/(2x)
Решение неоднородного уравнения
y* = Ax^3 + Bx^2 + Dx
y* ' = 3Ax^2 + 2Bx + D
Подставляем в уравнение
3Ax^2 + 2Bx + D + 3Ax^2/2 + Bx/2 + D/2 = x^2
3A + 3A/2 = 1
2B + B/2 = 0
D + D/2 = 0
A = 2/9; B = 0; D = 0
y* = 2x^2/9
y = y0 + y* = C/(2x) + 2x^2/9
Решаем задачку Коши.
y(1) = C/2 + 2/9 = 1
C/2 = 7/9
C = 14/9
Ответ: y = 7/(9x) + 2x^2/9
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
Предприятие по производству с/хоз продукции на производство затратило 3527000 руб Валовый
Разные вопросы.
Математика, задано на каникулы. ВАРИАНТ 1004
НОМЕР 1,2,3,4,5,6,7,8.
Математика.
Имеются три конденсатора емкостью С1=1мкФ, С2=2мкФ и С3=3мкФ. Какую наименьшую емкость
Физика.
Из точки м выходят 3 луча MP MN и MK причём
Геометрия.
выпиши в свою тетрадь те правила этикета которые тебе не были
Разные вопросы.
Анна хорошо учится у неё много подруг свободное от учёбы время
Обществознание.
10) Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8
Математика.
Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа
Химия.
Составить монолог от имени дневника двоечника 7-10 предложений
Русский язык.
Рассматривая литературный язык как сложное взаимодействие книжного языка и разговорного,В.И.Чернышёв горячо
Разные вопросы.
Облако тегов