На дощечку выписали 20 разных естественных чисел. Оказалось, что срединих 11

Что мы имеем:  20 чисел, 13 из которых делятся на 11, и 11 чисел, которые делятся на 13. Разумно, что есть числа, которые делятся на 13 и на 11. Их 13+11-20=4 числа.  Значит они все делятся на 143. Так как это число непарное, то при умножении на не целое число дают остачу, а нам надобно целые и естественные числа, означает умножаем 143 на малые естественные числа.  Малое с таких "необыкновенных чисел 143,второе - 286(143*2)(2 - последующее целое число после 1.),третье - 143*3=429,а 4-ое - 143*4=572,что явно больше 500 Подтверждено.

т.к. 13 чисел делится на 11, и 11 делятся на 13, а всего 20 чисел, то

(11 + 13) - 20 = 4 (числа) делятся и на 11 и на 13

наименьшие естественные числа, которые делятся и на 11 и на 13:

143, 286, 429, 572

т.к. это меньшие, то число 572 или большее число непременно есть

Что и требовалось обосновать.