Найдите две заключительные цифры числа 1+9^78

Найдите две последние цифры числа 1+9^78

Задать свой вопрос
1 ответ
Далее, всюду в преображениях  N_1, N_2, N_3, ... , N_i какие-то числа, кратные 100, т.е.  800, 7100, 62400, ... и т.п.




Метод [[[ 1 ]]]

 9^78 = (9^2)^39 = 81^39 = 81 \cdot 81^38 = 81 \cdot (81^2)^19 = 81 \cdot ((80+1)^2)^19 =

 = 81 \cdot (8^2 \cdot 100 + 2 \cdot 80 + 1)^19 = 81 \cdot (N_1 + 61)^19 = 81 \cdot (N_1 + 61) \cdot ((N_1 + 61)^2)^9 =

 = (N_1 \cdot 81 + 81 \cdot 61) \cdot (N_1^2 + 2 \cdot N_1 \cdot 61 + 61^2)^9 =

 = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_3 + 60^2 + 2 \cdot 60 + 1)^9 = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_4 + 21)^9 =

 = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_4 + 21) \cdot ((N_4 + 21)^2)^4 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_4^2 + 2 \cdot N_4 \cdot 21 + 21^2)^4 =

 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_6 + 41)^4 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot ((N_6 + 41)^2)^2 =

 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_6^2 + 2 \cdot N_6 \cdot 41 + 41^2)^2 =

 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_7 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1)^2 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_8 + 81)^2 =

 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_8^2 + 2 \cdot N_8 \cdot 81 + 81^2) = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_9 + 80^2 + 2 \cdot 80 + 1) =

 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_10 + 61) = N_11 + 81 \cdot 21 \cdot 61^2 = N_11 + ( 80 + 1 ) ( 20 + 1 ) ( 60 + 1 )^2 =

 = N_11 + ( 80 \cdot 20 + 80 + 20 + 1 ) ( 60^2 + 2 \cdot 60 + 1 ) =

 = N_11 + ( N_12 + 1 ) ( N_13 + 21 ) = N_11 + N_14 + 21 = N_15 + 21 ;


 1 + 9^78 = 1 + N_15 + 21 = N_15 + 22 ;



О т в е т : две последние числа  22 .




Способ [[[2]]]

1-ое действие:  9^2 = 81 ;

2-ое деянье:  9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 + 1 = N_1 + 61 ;

3-е деянье:  9^8 = (9^4)^2 = ( N_1 + 61 )^2 = N_1^2 + 2 \cdot N_1 \cdot 61 + 61^2 =

 = N_2^2 + 60^2 + 2 \cdot 60 + 1 = N_3 + 21 ;


4-ое действие:  9^9 = 9^8 \cdot 9 = ( N_3 + 21 ) \cdot 9 = N_3 \cdot 9 + 189 = N_4 + 89 ;

5-ое деяние:  9^18 = (9^9)^2 = ( N_4 + 89 )^2 = N_4^2 + 2 \cdot N_4 \cdot 89 + 89^2 =

 = N_5 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_6 + 21 ;


6-ое деянье:  9^19 = 9^18 \cdot 9 = ( N_6 + 21 ) \cdot 9 = N_6 \cdot 9 + 189 = N_7 + 89 ;

7-ое деяние:  9^38 = (9^19)^2 = ( N_7 + 89 )^2 = N_7^2 + 2 \cdot N_7 \cdot 89 + 89^2 =

 = N_8 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_9 + 21 ;


8-ое деянье:  9^39 = 9^38 \cdot 9 = ( N_9 + 21 ) \cdot 9 = N_9 \cdot 9 + 189 = N_10 + 89 ;

9-ое деянье:  9^78 = (9^39)^2 = ( N_10 + 89 )^2 = N_10^2 + 2 \cdot N_10 \cdot 89 + 89^2 =

 = N_11 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_12 + 21 ;


10-ое деяние:  1 + 9^78 = 1 + N_12 + 21 = N_12 + 22 ;



О т в е т : две заключительные числа  22 .




Метод [[[ 3 ]]]

 1 + 9^78 = ( 1 + 9^26 ) ( 1 - 9^26 + 9^52 ) ;


1-ое деяние:  9^2 = 81 ;

2-ое деяние:  9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 + 1 = N_1 + 61 ;


3-е деяние:  9^6 = 9^2 9^4 = ( N_1 + 61 ) 81 = N_2 + 61 \cdot 81 =

 = N_2 + 60 \cdot 80 + 60 + 80 + 1 = N_3 + 41 ;


4-ое деяние:  9^12 = (9^6)^2 = ( N_3 + 41 )^2 = N_3^2 + 2 \cdot N_3 \cdot 41 + 41^2 =

 = N_4 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1 = N_5 + 81 ;


5-ое деяние:  9^13 = 9^12 9 = ( N_5 + 81 ) 9 = N_5 \cdot 9 + 81 \cdot 9 = N_6 + 29 ;


6-ое действие:

 9^26 = (9^13)^2 = ( N_6 + 29 )^2 = N_6^2 + 2 \cdot N_6 \cdot 29 + 29^2 = N_7 + 841 = N_8 + 41 ;


7-ое деяние:  9^52 = (9^26)^2 = ( N_8 + 41 )^2 = N_8^2 + 2 \cdot N_8 \cdot 41 + 41^2 =

 = N_9 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1 = N_10 + 81 ;


8-ое деяние:  1 + 9^78 = ( 1 + 9^26 ) ( 1 - 9^26 + 9^52 ) =

 = ( 1 + N_8 + 41 ) ( 1 - N_8 - 41 + N_10 + 81 ) = ( N_11 + 42 ) ( N_12 + 41 ) =

 = N_11 \cdot N_12 + 42 \cdot N_12 + 41 \cdot N_11 + ( 40 + 1 ) ( 40 + 2 ) =

 = N_13 + 40^2 + 40 \cdot 2 + 40 + 2 = N_14 + 22 ;



О т в е т : две последние цифры  22 .
Милена Лозко
громадное спасибо!!!
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт