Даны два квадратных трёхчлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами. обоснуйте

Попробуем выискать R(x) в виде R(x) = P(x) Q(x) - S(x) (x - 8)(x - 12)(x - 2017). Очевидно, R(8) = P(8) Q(8), R(12) = P(12) Q(12), R(2017) = P(2017) Q(2017), потому R(8) R(12) R(2017) = P(8) P(12) P(2017) Q(2017) Q(12) Q(8).

Осталось подобрать S(x) таким образом, чтоб R(x) был многочленом ступени не выше второй. 
P(x) = ax^2 + bx + c
Q(x) = dx^2 + ex + f
Положим S(x) = gx + h, найдём g и h.

P(x) Q(x) - S(x) (x - 8)(x - 12)(x - 2017) = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) - (gx + h)(x - 8)(x - 12)(x - 2017)

Коэффициент при x^4:
ad - g = 0
g = ad

Коэффициент при x^3:
ae + bd - h - 8g - 12g - 2017g = 0
h = ae + bd - 2037g = ae + bd - 2037ad

g и h вышли целыми числами, означает, найденный R(x) удовлетоворяет условию.