сколько поочередно идущих естественных чисел можно сложить, чтобы получить простое число?

Два, к примеру 2+3=5 , 2,3 - поочередные натуральные числа, 5 - обычное

Три и большее нечетное 2K+1 раз нельзя так как представив себе ряд чисел в виде n-k, n-k+1, ...., n, n+1, ..., n+k-1, n+k
,где n - натуральное число больше либо одинаково k+1, то их сумма будет
(n-k)+...+n+...+(n+k)=2n*k+n=n(2k+1), а значит сумма будет кратной кроме себя (kn) и не считая 1 еще и делится нацело на 2k+1, и на n,  а означает не будет простым числом

Четыре и больше четное число раз 2K нельзя так как представив для себя ряд чисел в виде n-k, ...,n,...., n+k, n+k+1, где n - естественное число больше или равно k+1, то их сумма будет
(n-k)+...+n+...+(n+k)+(n+k+1)=[(n-k)+(n+k+1)]+[...]+[n+n+1] =(2n+1)*(k+1) - кратной k+1 и 2n+1
а означает не будет обычным числом

ответ: два числа