Палочка разломана на 15 долей так, что ни из каких

Пусть длина палки одинакова 1. По условию задачки, если брать любые три куска, то сумма длин 2-ух меньших из их не больше длины самого длинного из их. Расположим кусочки в порядке убывания их длин: Нужно обосновать, что Представим противное, то есть что По условию При этом Идем по цепочке далее. По условию , при этом . Продолжая этот процесс, получаем Суммируя, получаем Приобретенное противоречие (ведь сумма длин кусочков обязана равняться 1) подтверждает требуемое утверждение.

Замечание. Для тех, кто утомился от этих выкладок - простое рассуждение без чисел. 1-ый (самый длиннющий кусочек)  лежит в первой трети отрезка [0;1]. Остаются две трети отрезка [0;1]. Пусть это отрезок [b;c]. 2-ой и 3-ий кусочки лежат в его первой половине, а так как третий занимает не больше половины места, 4-ый и 5-ый займут не больше половины от правой половины, и так далее. Сами додумайте до конца.