решить уравнение: (x-6)^6+(x-4)^6=64

отметил.

Только 2 решения вероятно в задачках?

Удалил 2-ое решение по просьбе его творца. Ждем сейчас прекрасное алгебраическое решение

Ждём!

Я время упустил, ночь была

Сущность в том, что сменяем сначала y=x-5 и получаем сумму (y-1)^6 + (y+1)^6 = 64. Потом раскладывать на Скобки как сумму кубов и получаем одно квадратное уравнение и одно биквадратное.

Квадратное имеет корешки y1=-1, y2=1, отсюда x1=4; x2=6. А биквадратное корней не имеет.

Если я на данный момент поставлю эту задачку, оформите решение?

Могу оформить

Рассмотрим функцию уравнение принимает вид f(x)=64. Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

Найдем нули производной:

Подставив в производную x=4lt;5, убеждаемся, что она отрицательна, то есть функция слева от 5 убывает. Подставив в производную x=6gt;5, убеждаемся, что она положительна, то есть функция справа от 5 подрастает. Как следует, слева от 5 уравнение имеет не больше 1-го решения, точно так же справа от 5 уравнение имеет не больше 1-го решения. Эти решения просто угадываются: x=4 и x=6.

Ответ:

Замечание. Альтернативный метод решения - сделать подмену x-5=t, после чего возвести (t-1) и (t+1) в шестую ступень.