Решите дифференциальное уравнение :y" + 6y039; + 9y = (48x +

Question

Вопросы-ответы » Математика

Решите дифференциальное уравнение :y" + 6y039; + 9y = (48x +

Решите дифференциальное уравнение :
y" + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x

Задать свой вопрос

Кислян Аделя
Математика
2019-02-06 04:39:13
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Расстояние между 2-мя сёлами 24 км. За первую неделю бригада заасфальтировала

помогите с английским пожалуйста умоляю

Помогите! Пожалуйста,безотлагательно! Задание: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

Если в Киеве местное время 12:04, обусловьте по карте Украины местное

прямое и переносное значение слова встать. пж...

Ребята помогите пожалуйста

Помогите пожалуйста! 247 задание

девять помножить на три в значении семь. Помогите пожалуйста

Решите уравнениe -m=8

Помогите, пожалуйстарешите номер 4

Костик Цветкович · Answer 1 · 2019-02-06 04:41:10+3:00

$y''+6y'+9y=(48x+8)e^x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, подходящего данному неоднородному, и приватного решения неоднородного дифференциального уравнения.

$y_OH=Y_OO+\overliney_CH$

Решим однородное дифференциальное уравнение, подходящее данному неоднородному:

$y''+6y'+9y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+6\lambda+9=0\\(\lambda+3)^2=0\\\lambda_1=\lambda_2=-3$

Запишем общее решение однородного уравнения:

$Y=C_1e^-3x+C_2xe^-3x$

Приватное решение будем искать в виде:

$\overliney=(Ax+B)e^x$

Найдем первую и вторую производную:

$\overliney'=(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+(Ax+B)e^x\\\overliney''=(Ae^x)'+(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+Ae^x+(Ax+B)e^x=\\=2Ae^x+(Ax+B)e^x$

Подставим значения функции и первых двух производных в исходное уравнение:

$2Ae^x+(Ax+B)e^x+6(Ae^x+(Ax+B)e^x)+9((Ax+B)e^x)=(48x+8)e^x$

Сократим на $e^x$ :

$2A+(Ax+B)+6(A+(Ax+B))+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6(A+Ax+B)+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6A+6Ax+6B+9Ax+9B=48x+8\\16Ax+8A+16B=48x+8$

Так как левая и правая часть одинаковы, то коэффициенты при х и свободные члены также одинаковы. Получаем систему:

$\left\\beginarrayl 16A=48 \\ 8A+16B=8 \endarray$

$\left\\beginarrayl A=3 \\ A+2B=1 \endarray \Rightarrow \left\\beginarrayl A=3 \\ 3+2B=1 \endarray \Rightarrow \left\\beginarrayl A=3 \\ 2B=-2 \endarray \Rightarrow \left\\beginarrayl A=3 \\ B=-1 \endarray$

Тогда приватное решение имеет вид:

$\overliney=(3x-1)e^x$

Общее решение данного уравнения:

$y=Y+\overliney=C_1e^-3x+C_2xe^-3x+(3x-1)e^x$

Ответ: $y=C_1e^-3x+C_2xe^-3x+(3x-1)e^x$

О проекте

Решите дифференциальное уравнение :y" + 6y039; + 9y = (48x +

Добро пожаловать!