Помогите пожалуйста,завтра олимпиада по арифметике,10 класс,никогда не писала,что там может

Задание 1

(7  баллов)  Точка  O   центр  квадрата  ABCD.  Найдите  какие-нибудь  семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках A, B, C, D, О, сумма которых одинакова нулевому вектору. Объясните свой ответ.

Решение

К примеру, подойдёт:

OA+AC+CD+DA+AB+BD+DO=0



Задание 2

(7 баллов) Можно ли все естественные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма хоть какой пары чисел делилась на 6?

Ответ. Нет.

Решение. Если требуемое в задачке вероятно, то числа, кратные шести, обязаны разбиться на пары. Так как 800 = 133 6 + 2, чисел от 1 до 800, кратных 6, ровно 133. Противоречие: 133 числа нельзя разбить на пары.

Замечание. Посреди чисел от 1 до 800 остаток 0 при дроблении на 6 дают 133 числа, остаток 1 134 числа, остаток 2 134 числа, остаток 3 133 числа, остаток 4 133  числа,  остаток 5 133  числа.  Как следует,  противоречие  также можно  получить  иначе.  К примеру,  число,  дающее  остаток 1,  должно  быть в паре с числом, дающим остаток 5. Значит, таких чисел должно быть поровну, что не так.



Задание 3

(7  баллов)  Участвуя  в  шахматном  турнире,  Вася  сыграл 52  партии.  По ветхой системе подсчёта очков (1 очко за победу, очка за ничью и 0 очков за поражение)  он  набрал 35  очков.  Сколько  очков  он  набрал  по  новейшей  системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и 1 очко за поражение)?

Ответ. 18 очков.

Решение

1-ый способ. Пусть Вася в турнире a раз одолел, b раз сыграл вничью и c раз проиграл. Тогда a + b + c = 52, a + b/2 = 35. Необходимо найти значение a c. Из второго  соотношения  следует,  что  b = 70 2a.  Тогда  a + (70 2a) + c = 52, откуда 70 + c a = 52, a c = 18.

2-ой метод. При системе подсчёта (1; ; 0) Вася набрал 35 очков,  означает, при системе (2; 1; 0) он наберёт вдвое больше, то есть 70 очков.

При  системе (1; 0; 1)  Вася  теряет  по  одному  очку  в  каждой  партии (по сравнению с системой (2; 1; 0)). Означает, он наберёт 70 52 = 18 очков.



Задание 4

(7  баллов)  На  координатной  плоскости  изображены  графики  функций y= x2+bx+c и y=x2+cx+b.

Найдите значения b и c. В ответе запишите уравнения каждой из функций.



Набросок к заданию 4

Ответ. y = x2+2x-3 и y=x2-3x+2

Решение

Некоторое  число  t  является  корнем  обоих  трёхчленов, поэтому t2+bt+c=t2+ct+b, откуда (b-c)(t-1)=0. Так  как  b