сколько существует троек естественных чисел (a, b, c) образующих арифметическую прогрессию

Ограничений на a,b,c нет? Таких пар много, к примеру, (1, 8, 15) (4, 30, 56), (15, 112, 209) (56, 418, 780), ... (2911, 21728, 40545)

Не пары, а тройки, из первой тройки можно выстроить все остальные a:=1; b:=8; c:= 15; , дальше нескончаемый цикл по алгоритму a:=b div 2; b:=c*2; c:=(b-a)*2+a;

И сколько всего вариантов выходит?

Цикл бесконечный, потому и вариантов неисчерпаемое огромное количество, если a b c не ограничены каким - то числом.

Если учитель не согласен с таким утверждением, то попросите его привести заключительную тройку чисел (a,b,c), после которой уже нельзя получить последующей тройки чисел (a,b,c). После "последней" тройки чисел всегда можно построить следующую, по приведенному выше алгоритму.

А как этот алгоритм вы вывели?

Да никак, просто написал программку и запустил, она мне и выдала последовательности троек.

Такие задачки по математике они так и решаются, с начало с поддержкою компьютера получаете решение, потом подключаете "математический аппарат".

А как додумался до этих формул?

Таких троек безгранично много

Начнем:
 (  1;    8; 15 )
 ( 15;   8;   1 )
 ( 4;    30; 56 )
 (56;   30;   4 )  и так далее ... (Тут мы не брали трехзначные числа...)


А вот и программка на PascalABC:

  var x, y, z : real;
begin
   for var a:=1 to 99 do
      for var b:=1 to 99 do
         for var c:=1 to 99 do
             begin 
                if b=(a+c)/2 then
                           begin
                              x:=sqrt(a*b+1);
                              y:=sqrt(b*c+1); 
                              z:=sqrt(c*a+1);   
                              if (int(x) = (x)) and (int(y) = (y)) and (int(z) = (z)) then                                                      WriteLn(a:4,b:4,c:4); 
                          end;
                end;
 end.