Найдите количество целочисленных решений (a;b;c) уравнения [tex] 150^a * (

Раскладываем левую часть на простые множители.


Так как , то равенство при целых a, b, c будет в том и только в том случае, если будет производиться система


Заметим, что третье уравнения системы - сумма первых 2-ух, так что его можно убрать из рассмотрения, остается система из 2-ух уравнений с 3-мя безызвестными. Выразим b и c через a:


Поскольку b обязано быть целым, a обязано давать остаток 5 при разделении на 7; . Подставляем:


Эти равенства при всех целых a' задают все целочисленные решения уравнения. Найдём количество решений, удовлетворяющих неравенству.


Подходят -47 lt; a' lt; 44, таких a' найдётся 44 + 47 - 1 = 90

Nelle все верно решила, но этот переход к а' не очень понятен. Я решил эту систему, выразив всё через b:
a = -2-7b; b; c = 4b+3.
Вышло без дробей.
Подставляем в условие
a+b+c=-2-7b+b+4b+3=-2b+1lt;91
-91 lt; -2b+1 lt; 91
-92 lt; -2b lt; 90
-90 lt; 2b lt; 92
-45 lt; b lt; 46.
Значит, целое b принадлежит [-44; 45]. Это 44+45+1=90 значений.