1+2^1+2^2+...+2^(n-1)=2^n-11) База: 1=1.2) Предположим, что равно для n.3) (А вот это

Это способ математической индукции. Если все три условия соблюдаются, то можно брать n=1 (в силу первого условия) и используя третье обосновать что все верно для n=2. Дальше берем n=2 и подтверждаем, что правильно для n=3. И т.д. до бесконечности.
В твоем случае
1+2+2+...+2=2-1
Осмотрим для n+1
1+2+2+...+2+2=( 1+2+2+...+2)+2=(2-1)+2=2*2-1=2-1
Мы обосновали третье утверждение
1+2+2+...+2+2=2-1