Петя и Вася ехали вниз по эскалатору. Насередине эскалатора хулиган Вася

Пусть L - длина половины эскалатора, v - скорость ребят, u - скорость эскалатора.

Если скорость эскалатора больше скорости ребят, то оба будут двигаться по первому эскалатору вниз, но окажется понизу первым хулиган Вася, потому и ввысь по  второму эскалатору он добежит первым; шапка будет дожидаться его наверху, если, окончательно, там не окажется иной хулиган.

Если скорость эскалатора одинакова скорости ребят, Петя постоянно будет бегать ввысь (бег на месте), а Вася до шапки доберется (если, опять же, не второй хулиган).

Пусть скорость ребят больше скорости эскалатора, но меньше двойной скорости эскалатора. Тогда Петя, добежит до верха медлительнее, чем это сделает шапка. На это он истратит время . Вася же пробежит расстояние 3L и истратит время 



Потому Вася будет первым.

Если v=2u, Петя прибежит наверх сразу с шапкой; предыдущее рассуждение говорит о том, что в этом случае  то есть ребята прибегут сразу. 

Если vgt;2u, можно провести выкладку, подсказывающую прошлые, но можно пользоваться благовидным уразумением. Можно считать, что там было не два эскалатора, а один радиальный. Тогда можно пренебрегать про скорость эскалатора. Дети находятся в одной точке радиального эскалатора, а шапка - в диаметрально противоположной   точке. Они бегают в различные стороны, но с схожей скоростью и должны преодолеть одно и тоже расстояние. Потому они прибегут одновременно.

Практический вывод (забудем про хулиганов): Вы узрели знакомого, который движется в обратном направлении; оба Вы находитесь приблизительно посередине эскалатора. Если Вы желайте его догнать, не ошибетесь, если побежите по ходу движения, а позже побежите по обратному. Впрочем, если Вы бегаете очень скоро, бегать можете в любую сторону.