Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и линейные. 1) (xy-x)y039;-y=0

Question

Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и линейные. 1) (xy-x)y039;-y=0

Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и линейные.

1) (xy-x)y'-y=0 (Однородное уравнение)

2) y'= $\fracxyx^2 -y^2$ (Однородное уравнение)

3) xy'-2y=x+1 (Линейное уравнение)

4) y'cosx+y=tgx (Линейное уравнение)

Задать свой вопрос

Агата Атюнькина
Математика
2019-02-11 07:34:14
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Муз. Литература. Назовите норвежские народные танцы. Безотлагательно

ПЛАН ОПИСАНИЯ ЕВРАЗИЯ1. Какие карты надо использовать при описания страны.2.

в чём особенность правописания падежных окончаний существительных типа армия задание

Что сближает Андрея и Пьера в романе quot;Война и мирquot;?

68 плииииииз помогите срочео

НАПИШИТЕ БИОГРАФИЮ МАЯКОВСКОГО Коротко ПОЖАЛУЙСТАсрочно и коротко

помогите номер 884!!!!!!!!

32x^5-1срочно решите безотлагательно

чему одинаково фокусное расстояние линзы если её оптическая сила одинакова 1.635

Почему комплекс чувств возникающий после прикосновения к предмету подушками пальцев

Владик · Answer 1 · 2019-02-11 07:37:09+3:00

1) (xy-x)y'-y=0
Перед нами однородное уравнение. Проверяется просто. В начальное уравнение вместо х подставляем $\lambda x$ , заместо у подставляем $\lambda y$ , производную не трогаем.
$(xy-x^2)y'-y^2 = (\lambda x * \lambda y - (\lambda x)^2)*y' - (\lambda y)^2 = \\ \\ = \lambda ^2 ((xy-x^2)y'-y^2) = 0$
Как видим, лямбда сокращается, как следует дифференциальное уравнение однородное.
Решается уравнение подменой: y(x) = t(x) * x, или сокращённо y = tx. Т.к. функция t(x) зависит от икс, то производная как от сложной функции:
y' = t' * x + t
Вот это и подставляем в начальное уравнение и решаем:
$(xy-x^2)y'-y^2 = 0 \\ \\ (x*t*x - x^2)*(t'*x+t) -t^2*x^2= 0 \\ \\ x^2(t-1)*(t'*x+t)=t^2*x^2 \\ \\ (t-1)*(t'*x+t)=t^2 \\ \\ t'tx+t^2-t'x-t=t^2 \\ \\ t'x(t-1) = t \\ \\ \fract-1t t' = \frac1x \\ \\ \fract-1t dt = \fracdxx \\ \\ \int\limits \fract-1t \, dt = \int\limits \frac1x \, dx \\ \\ \int\limits (1 -\frac1t) \, dt = \int\limits \frac1x \, dx \\ \\ t - lnt = lnx + lnC \\ \\ \fracyx - ln \fracyx = lnCx$
Сделали оборотную подмену t = y/x, а решение превосходнее бросить в таком виде, как получилось

2. $y' = \fracxyx^2-y^2$
Однородность диффура проверяется подобно предшествующему. Подстановка тоже аналогична.
$y' = \fracxyx^2-y^2 \\ \\ t'x + t = \fractx^2x^2-t^2x^2 = \fract1-t^2 \\ \\ t'x + t -\fract1-t^2 = 0 \\ \\ t'x + \fract-t^3-t1-t^2 =t'x - \fract^31-t^2 = 0 \\ \\ t'x = \fract^31-t^2 \:\:\:\:\:\:\:\: \frac1-t^2t^3 t' = \frac1x \\ \\ \frac1-t^2t^3 dt = \fracdxx \\ \\ \int\limits \frac1-t^2t^3 \, dt = \int\limits \frac1x \, dx \\ \\ \int\limits (t^-3- \frac1t) \, dt = \int\limits \frac1x \, dx$
$\\ \\ - \frac12 t^-2 -lnt = lnx+lnC \\ \\ - \frac12 \fracx^2y^2 - ln \fracyx = lnCx$

3) xy'-2y=x+1
Линейное уравнение решается подстановкой y(x) = u(x)*v(x), или сокращённо y = u*v. Производная равна y' = u'*v + u*v'.
Делаем подмену и решаем.
$xy'-2y=x+1 \\ \\ y' - \frac2yx = \fracx+1x \\ \\ u'*v + u*v' - \frac2u*vx =\fracx+1x \\ \\ u'*v + u*(v' - \frac2vx) =\fracx+1x \\ \\ \\ 1) \:\: v'- \frac2vx = 0 \\ 2) \:\: u'*v = \fracx+1x$
Составляем систему уравнений (см. выше). Поначалу решается 1-ое.
$1) \:\: v'- \frac2vx = 0 \:\: \: \:\: v' = \frac2vx \\ \\ \fracv'v =\frac2x \:\: \: \:\: \fracdvv = \frac2dxx \\ \\ \int\limits \frac1v \, dv = \int\limits \frac2x \, dx \\ \\ lnv = 2lnx \:\: \: \:\: v = x^2$
Приобретенное решение подставляем во 2-ое уравнение и решаем его:
$u'*v = \fracx+1x \\ \\ u'*x^2 =\fracx+1x \\ \\ u' = \frac1x^2 + \frac1x^2 \\ \\ du = (x^-2+ x^-3)dx \\ \\ \int\limits \, du = \int\limits (x^-2+ x^-3) \, dx \\ \\ u = - \frac1x - \frac12x^2 +C$
Собираем решения:
$y = u*v = (- \frac1x - \frac12x^2 +C) * x^2 = -x -2 +Cx^2$

$4) \:\:\:\: y'cos^2x+y = tgx$
Решается подобно предшествующему.
$y'cos^2x+y = tgx \\ \\ y' + \fracycos^2x = \fractgxcos^2x \\ \\ u'v+uv'+\fracuvcos^2x = \fractgxcos^2x \\ \\ u'v+u(v'+\fracvcos^2x) = \fractgxcos^2x \\ \\ \\ 1) \:\:\: v'+\fracvcos^2x = 0 \\ \\ 2) \:\:\: u'v = \fractgxcos^2x \\ \\ \\ v'+\fracvcos^2x = 0 \:\:\:\:\:\: v' = - \fracvcos^2x \\ \\ \fracdvv = - \fracdxcos^2x \\ \\ lnv = -tgx \\ \\ v = e^-tgx \\ \\ \\ u'v = \fractgxcos^2x \\ \\ u'e^-tgx = \fractgxcos^2x \\ \\$
$u' = e^tgx * \fractgxcos^2x \\ \\ u = \int\limits e^tgx*\fractgxcos^2x \, dx \:\:\:\:\:\: [t=tgx; \:\:\:\:\:\: dt = \fracdxcos^2x] \\ \\ u = \int\limits e^t* t \, dt = e^t *t - \int\limits e^t \, dt = e^t*t - e^t = e^t*(t-1) +C = \\ \\ \\ f = t; \:\:\:\:\:\: df = dt; \:\:\:\:\:\: dg = e^t dt; \:\:\:\:\:\: g = e^t \\ \\ \\ = e^tgx(tgx-1) + C$
Собираем решения:
$y = uv = (e^tgx(tgx-1) + C) * e^-tgx = C*e^-tgx + tgx - 1$

22

О проекте

Решить дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные и линейные. 1) (xy-x)y039;-y=0

Добро пожаловать!