Обоснуйте, что для хоть какого естественного m существует число Фибоначчи Fn (n

Числа Фибоначчи последовательность чисел, задаваемая рекуррентно: F(n + 2) = F(n + 1) + F(n), F(0) = 0, F(1) = 1.

Выпишем остатки первых m^2 + 2 чисел Фибоначчи, начиная с нулевого, при разделении на m. Так как всего разных остатков при дроблении на m ровно m, то различных пар остатков не более m^2. Пар примыкающих остатков m^2 + 1, тогда по принципу Дирихле найдутся две пары примыкающих чисел Фибоначчи, которые дают соответственно равные остатки при дроблении на m. Так как по двум остаткам последовательность однозначно восстанавливается в обоих направлениях, последовательность остатков периодичная, и найдётся число Фибоначчи с номером, не превосходящим m^2 + 2, дающее такой же остаток при разделеньи на m, что и F(0) = 0, оно будет делиться на m.