обоснуйте что для всех натуральных n выполняется неравенство n!amp;lt;=((n+1)/2)^n

Нужно обосновать, что для всех естественных n



1) При n=1 неравенство левая и правая доли равны: 1=1.
При n=2 неравенство правосудно: 2lt;2,25.

2) Левая часть  при переходе от  к  увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть  при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Другими словами, будем подтверждать, что



Упрощая, приводим это неравенство к 

.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство



при этом 

Используя двучлен Ньютона, получаем



Неравенство подтверждено.