На дощечке написано 400 поочередных целых чисел (посреди них могут быть

Пусть нам даны числа от ( - 199) до 200. Отбрасывая самое великое, получаем нулевую сумму других - это 1-ый квадрат. Означает, 200 - превосходное число. Если откинуть 199 заместо 200, сумму других увеличим на 1; она станет одинакова 1 - это 2-ой квадрат. Получили 2-ое хорошее число - 199. Переходя к отбрасыванию 198, 197 и т.д. мы каждый раз сумму других увеличиваем на 1. Когда отбросим самое малюсенькое число - минус 199, получим сумму остальных, одинаковую 399 (проще всего сообразить так: все числа от минус 198 до до плюс 198 "попарно скушают друг друга" (для нуля пары не будет, но ему не очень то и хотелось - он самодостаточен), остаются 199 и 200, которые и дают сумму 399. В итоге мы будем получать последующие суммы, являющиеся полными квадратами: 0, 1, 4, 9, 16,..., 361. Поскольку первое равно нулю в квадрате, а заключительное равно 19 в квадрате, получаем 20 квадратов. Таким образом, мы получили пример того, что 20 превосходных чисел повстречаться может.

Остается обосновать, что большего количество превосходных чисел быть не может. Для этого обратим внимание на то, что при сдвиге нашего массива чисел вправо на 1 все получающиеся суммы растут на 399. Теперь они будут принимать значения от 399 до  798. Плотность квадратов среди натуральных чисел с ростом чисел убавляется (расстояние меж ними каждый раз подрастает на 2), потому превосходных чисел станет меньше (их там 9 штук - от 20 в квадрате до 28 в квадрате). Еще меньше квадратов мы будем получать, если массив сдвигать еще правее. В какой-то момент там вообщем могут не получаться полные квадраты. Попытка двинуть массив не на право, а на лево вообщем абсурдна, так как теснее после первого сдвига все суммы станут отрицательными (хорошо, уговорили, так и быть, одна сумма будет одинакова нулю).

Ответ: 20