integral (from 0 to infinity) [ exp(-x)*x^n ] (n is 0,

$\\ \int_0^+\infty x^n*e^-x\mathrmdx=\left [ u=x^n, \mathrmdu=nx^n-1\mathrmdx, \mathrmdv=e^-x\mathrmdx, v=-e^-x \right ]=\left \langle u*v-\int vdu \right \rangle= -x^n*e^-x_0^+\infty+n\int_0^+\inftyx^n-1e^-x\mathrmdx=...=n!$ Интегрировать по частям необходимо до тех пор, пока переменная х в интеграле не будет равна 1,позже под интегралом остается только e^(-x). В конце получается, что интеграл будет равен степени х.
Пример при n=2:
$\\ \int_0^+\infty x^2*e^-x\mathrmdx=\left [ u=x^2, \mathrmdu=2x\mathrmdx, \mathrmdv=e^-x\mathrmdx, v=-e^-x \right ]= -x^2*e^-x_0^+\infty+2\int_0^+\inftyxe^-x\mathrmdx=\left [ u=x, \mathrmdu=\mathrmdx, \mathrmdv=e^-x\mathrmdx, v=-e^-x \right ]=-\lim_x\rightarrow +\inftyx^2*e^-x+2\left ( -xe^-x+\int_0^+\inftye^-x\mathrmdx \right )=0+2*\left ( -\lim_x\rightarrow +\inftyx*e^-x \right-\int_0^+\inftye^-x\mathrmd(-x))=2*0-2*(-\lim_x\rightarrow +\inftye^-x-1)=-2*(0-1)=2$

О проекте

integral (from 0 to infinity) [ exp(-x)*x^n ] (n is 0,

Добро пожаловать!