Пусть S(n) и K(n) означают сумму всех цифр и сумму квадратов

А) Существует. Пусть число будет двузначным, 10a + b.
a^2 + b^2 = 2(a + b) + 23
a^2 - 2a + b^2 - 2b = 23
Прибавим 2 к левой и правой части
(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) = 25
(a - 1)^2 + (b - 1)^2 = 5^2
По теореме Пифагора оно имеет целое решение:
a - 1 = 3; b - 1 = 4 (или наоборот, a - 1 = 4; b - 1 = 3).
Ответ: Это числа 45 и 54.

б) Не существует. Решаем точно также. Пусть у нас n-значное число.
a^2 + b^2 + ... + x^2 = 3(a + b + ... + x) + 23
Умножаем всё на 4 и переносим все переменные на лево
(4a^2 - 12a) + (4b^2 - 12b) + ... + (4x^2 - 12x) = 92
Прибавляем 9 к каждой скобке, получаем квадраты. Всего n девяток.
(4a^2 - 12a + 9) + (4b^2 - 12b + 9) + ... + (4x^2 - 12x + 9) = 92 + 9n
(2a - 3)^2 + (2b - 3)^2 + ... + (2x - 3)^2 - 9n = 92
n единиц можно разнести по скобкам, остается 8n.
((2a - 3)^2 - 1) + ((2b - 3)^2 - 1) + ... + ((2x - 3)^2 - 1) - 8n = 92.
Далее идет достаточно тонкое рассуждение. Если подставить заместо букв числа от 0 до 9, то мы получим всякий раз число, которое делится на 8.
Число 8n, природно, тоже кратно 8. А 92 на 8 НЕ делится.
Потому это уравнение решений не имеет.

в) 19999999999. Единица и 10 девяток.
Решается точно тем же способом.
(a - 4)^2 + (b - 4)^2 + ... (x - 4)^2 = 83 + 16n
Здесь тоже тонкие рассуждения. Если буковка (a, b, ..., x) имеет значение от 0 до 8, то правая часть вырастает меньше, чем левая. То есть сумма квадратов обгоняет сумму цифр меньше, чем на 83.
И только если a = 9, левая часть возрастает на 25, а правая на 16.
То есть разница убавляется на 25 - 16 = 9. Явно, 9 девяток уменьшат разницу на 9*9 = 81, а нам надобно 83, потому нужна десятая девятка.
И, не считая того, обязана быть еще одна цифра, 1 либо 7.
(1 - 4)^2 = (-3)^2 = (7 - 4)^2 = 3^2 = 9.
Потому меньшее число состоит из одной 1 и 10 9.