Отыскать частное решение дифференциального уравнения

Question

Вопросы-ответы » Математика

Отыскать частное решение дифференциального уравнения

Найти приватное решение дифференциального уравнения

Задать свой вопрос

Аделина 2019-03-05 09:13:28

Ответ: y=-lnx/x

Тарьянов Ленька 2019-03-05 09:15:26

Помогите с решением

Валерий Уманец
Математика
2019-03-05 09:09:21
2
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Запишите формулу электрического напряжения через работу тока и электрический заряд

выписать из рассказа Платонова неизвестный цветок 2 обычных предложения 1 с

Функцю задано формулою у = 1 х2, де -1x3.1) Складть

Почему комедию Ревизор нарекают бессмертной?

Помогите пожалуйста

Назовите 3 элемента одной группы. ПОМОГИТЕ Безотлагательно!!!! ПЛИЗ

Какое звание было у Джеймса Кука , когда он отправился в

От ёлки к ёлке скачет бойкая белку. Помогите найти подеж слове

помогите пж задание 67в,г и 68 в,г

Aleksandr Ignatovskij · Answer 1 · 2019-03-05 09:16:27+3:00

4.9. $x^2y' + xy +1 = 0$
Перед нами линейное неоднородное уравнение первого порядка.
То, что уравнение неоднородное, проверяется очень просто. Надобно заместо х поставить $\lambda x$ , а заместо у поставить $\lambda y$ , саму производную не трогаем, где $\lambda$ некоторый параметр. Если его получится уменьшить, то уравнение однородное.
$(\lambda x)^2y' + (\lambda x)(\lambda y) +1 = 0 \\ \\ \lambda^ 2 x^2y' + \lambda^2 xy + 1 = 0$
Сократить $\lambda$ мешает единица. Означает, уравнение неоднородное. Перепишем его в таком виде, разделив обе доли на х:
$y' + \fracyx + \frac1x^2 = 0 \\ \\ y' + \fracyx = - \frac1x^2$

Самое, что ни есть, линейное неоднородное уравнение первого порядка. Такое уравнение можно решить одной подменой:
$y = uv$ , где u и v - некие безызвестные функции от икса.
По правилу дифференцирования сложных функций:
$y' = u'v + uv'$

Подставляем в начальное уравнение:
$y' + \fracyx = - \frac1x^2 \\ \\ u'v + uv' + \fracuvx = -\frac1x^2 \\ \\ u'v + u(v' + \fracvx) = -\frac1x^2$

Сочиняем систему. То, что в скобках приравниваем нулю, оставшийся член приравниваем правой части:
$v' + \fracvx = 0 \\ \\ u'v = -\frac1x^2$

Решаем по порядку. Из первого уравнения обретаем v.
$v' = -\fracvx \\ \\ \fracdvdx =-\fracvx \\ \\ \fracdvv = -\fracdxx \\ \\ \int\limits \frac1v \, dv = -\int\limits \frac1x \, dx \\ \\ lnv = - lnx \\ \\ lnv = lnx^-1 = ln \frac1x \\ \\ v = \frac1x$

Приобретенное v подставляем во 2-ое уравнение.
$u'v = -\frac1x^2 \\ \\ \fracdudx \frac1x = -\frac1x^2 \\ \\ du = - \fracdxx \\ \\ \int\limits \, du = -\int\limits \frac1x \, dx \\ \\ u = -lnx+C$

Обе неведомые функции u и v отыскали, записываем решение:
$y = uv = (-lnx+C) \frac1x$

Обретаем приватное решение при y(1) = 0
$y(1) = (-ln1+C) \frac11 = (0 + C) = 0 \\ C = 0$

И заключительное, записываем ответ:
$y = (-lnx+0) \frac1x = -\frac1x lnx$

О проекте

Отыскать частное решение дифференциального уравнения

Добро пожаловать!