в трапеции АВСД основание АД=3а , а ВС=а, угол ВАД=30 градусов,а

А что знаменито про эту окружность, проходящую через D? Центр либо радиус, либо через какую еще точку она проходит? И про какой отрезок "этой прямой" нас спрашивают?

Тут в условии ошибка. Обязана быть не окружность, а ровная через D.
Это отрезок DK, длину которого нам надобно отыскать.
Точка К обязана находиться на отрезке АВ, потому что отрезок DB очевидно разделяет трапецию на такие части, что S(BCD) lt; S(ABD).
Вот набросок. Из него ясно, что:
AB = BN/sin 30 = 2*BN = 2h, AN = BN*tg 60 = h3
DM = CM*tg 30 = h3/3, CD = DM/sin 30 = 2*DM = 2h3/3
AD = DM + MN + AN = h3/3 + a + h3 = 3a
4h3/3 = 2a
h = 3a/(23) = a3/2
AB = 2h = a3
CD = 2h3/3 = 2a3/2*3/3 = a
Угол BCD = 180 - ADC = 180 - 60 = 120
Треугольник BCD - равнобедренный с боковой стороной а и углом 120.
Угол CBD = 30
Из аксиомы косинусов
BD^2 = CD^2+BC^2-2*CD*BC*cos 120 = a^2+a^2-2a^2*(-1/2) = 2a^2+a^2 = 3a^2
BD = a3 = AB.
S(BCD) = 1/2*BC*CD*sin BCD = 1/2*a^2*3/2 = a^2*3/4
Угол ABC = 180 - 30 = 150, ABD = ABC - CBD = 150 - 30 = 120.
Треугольник ABD - равнобедренный с боковой стороной а3 и углом 120.
S(ABD) = 1/2*AB*BD*sin ABD = 1/2*a3*a3*3/2 = 3a^2*3/4 = 3*S(BCD)
Площадь всей трапеции
S(ABCD) = (3a + a)*h/2 = 4a*(a3/2)/2 = a^2*3
Означает, S(AKD) = S(KBCD) = a^2*3/2 = 2*S(BCD)
То есть S(BKD) = S(BCD)
S(BKD) = 1/2*KB*BD*sin KBD = 1/2*KB*a3*sin 120 = a^2*3/4
KB*a3/2*3/2 = a^2*3/4
KB = a/3 = a3/3
Из аксиомы косинусов
DK^2 = BD^2 + KB^2 - 2*BD*KB*cos 120 = 3a^2 + a^2/3 - 2*a3*(a3/3)(-1/2) =
= 3a^2 + a^2/3 + a^2 = 13a^2/3
DK = a*(13/3) = 39*(13/3) = (13*3*13/3) = 13