На доске выписаны числа 1,2,3,....,10. За ход пару чисел (a,b) заменяют

Пусть на дощечке в какой-то момент написаны числа a, a, ..., a (всего x чисел).

Будем следить за значением творения (1 + 3a)(1 + 3a)...(1 + 3a). Заметим, что значение этого творения при обозначенной операции не меняется: скобки, не содержащие a и b, останутся на месте, а (1 + 3a)(1 + 3b) = 1 + 3a + 3b + 9ab заменится на 1 + 3(a + b + 3ab).

Исходно это творение одинаково
(1 + 3)(1 + 6)(1 + 9)...(1 + 30) = 528 271 744 000,
а когда осталось единственное число x, оно одинаково
1 + 3x.

Так как творенье не изменилось, то
1 + 3x = 528 271 744 000
3x = 528 271 743 999
x = 176 090 581 333

Ответ. 176 090 581 333.